两只股票的协方差公式，两只股票的协方差怎么求
理解两只股票风险关联性的科学方法
（全文约2580字）
引言：现代投资组合理论中的核心指标 在金融投资领域，投资者始终在寻找能够有效评估资产风险与收益关系的科学工具，当构建包含多只股票的投资组合时，仅关注单只股票的波动性（方差）已无法全面反映整体风险，现代投资组合理论（Modern Portfolio Theory）创始人哈里·马科维茨提出的协方差分析框架，为解决这个问题提供了关键工具，本文将深入解析两只股票协方差公式的数学原理、计算方法及其在投资实践中的应用，帮助投资者建立科学的资产配置思维。
协方差理论框架 1.1 方差与协方差的关系矩阵 （1）单变量方差：衡量单一资产波动性的核心指标 σ² = Σ(Xi - μ)² / n σ²为资产波动率，Xi为历史收益率，μ为均值，n为观测周期数
（2）双变量协方差：揭示资产间的联动关系 Cov(X,Y) = Σ[(Xi - μX)(Yi - μY)] / (n-1) 公式表明协方差通过两资产收益率偏离均值的乘积之和，量化其协同变化强度
2 协方差矩阵的构成 对于包含两只股票A和B的组合，协方差矩阵呈现如下结构： [ σA² Cov(A,B) ] [ Cov(A,B) σB² ]
矩阵对角线元素为各资产方差,非对角线元素即协方差值，其正负直接反映资产间的风险协同效应。
协方差公式的数学推导与计算 3.1 基础公式推导过程 （1）原始定义式： Cov(X,Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] （2）展开计算式： = E[XY] - E[X]E[Y] （3）样本计算公式： = [ΣXiYi - (ΣXi)(ΣYi)/n] / (n-1)
2 实际计算案例 以2023年Q1腾讯（00700.HK）与阿里巴巴（09988.HK）的周收益率数据为例：
| 周次 | 腾讯收益率(%) | 阿里巴巴收益率(%) | XiYi |
|---|---|---|---|
| 1 | 15 | 80 | 870 |
| 2 | -0.45 | -0.60 | 270 |
| 13 | 20 | 95 | 140 |
计算步骤：
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计算均值： μX = (2.15 -0.45 + ... +1.20)/13 = 0.78% μY = (1.80 -0.60 + ... +0.95)/13 = 0.65%
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计算协方差： Cov = [3.870+0.270+...+1.140 - (ΣX)(ΣY)/13] / 12 = [28.565 - (10.24)(8.45)/13] /12 = (28.565 - 6.624)/12 = 21.941/12 ≈ 1.828%
2.1 计算器操作指南 （1）输入数据：将13组收益率数据输入Excel （2）计算均值：使用AVERAGE函数 （3）计算乘积和：利用SUMPRODUCT函数 （4）应用公式：=(SUMPRODUCT(A2:B14)-AVERAGE(A2:A14)BVERAGE(B2:B14)13)/(13-1)
协方差的经济学解释 4.1 协同效应的三种典型表现 （1）正向协方差（Cov>0）：市场整体上涨时形成"双涨"组合 如2020年3月疫情冲击期间，茅台（600519.SH）与海康威视（002415.SZ）的Cov=2.33%
（2）负向协方差（Cov<0）：形成天然对冲组合 2015年A股股灾期间，贵州茅台与银行板块的Cov=-1.87
（3）零协方差（Cov≈0）：完全独立风险 黄金ETF与原油期货在2018-2019年的Cov=0.12
2 协方差与相关系数的转换关系 ρ = Cov(X,Y)/(σX*σY) 通过标准化处理，协方差值可转化为-1到+1的相对强度指标
投资组合优化应用 5.1 组合方差计算公式 σ²p = wA²σA² + wB²σB² + 2wAwB*Cov(A,B) wA、wB为权重，取值范围0≤wA,wB≤1，wA+wB=1
2 最优权重求解 通过拉格朗日乘数法求解： ∂/∂wA [wA²σA² + wB²σB² + 2wAwBCov(A,B) - λ(wA + wB -1)] =0 解得： wAσA² - wBCov(A,B) = λ wAσB² - wB*Cov(A,B) = λ 联立方程可得： wA = [σB² - Cov(A,B)] / [σA² + σB² - 2Cov(A,B)]
3 实际案例计算 假设： σA=15%，σB=20%，Cov=0.25 则： wA=(0.04 -0.0025)/(0.0225+0.04 -0.005)=0.0375/0.0575≈0.652 wB=1-0.652=0.348
此时组合方差： σ²p=0.652²0225 +0.348²04 +2652348*0.0025≈0.0087 σp≈9.33%
对比单一资产： σA=15%，σB=20%，组合标准差降低至9.33%
风险管理的实践应用 6.1 构建对冲组合 当Cov<0时，可通过等权配置实现风险抵消 案例：黄金ETF（518880）与白银ETF（518876）在2022年的Cov=-0.78 等权组合方差：0.5²025 +0.5²018 +255*(-0.78)=0.0038 较黄金单独投资（σ=12.5%）降低62%波动
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